Kombinasyon ve Tablo Oluşturma

Eşleştirme, gruplandırma ve tablo oluşturma; verilen koşulları düzenli biçimde göstererek uygun seçim veya yerleşimleri bulmayı sağlar. Kombinasyonda ise bir gruptan kaç farklı seçim yapılabileceği incelenir. Seçimde sıranın önemli olup olmaması, sayılan durumları değiştirir.

Bir bakışta

• Eşleştirme: Kişi ve görevleri tabloya yerleştir; tekrar ve boş kalma koşulunu belirle.
• Grup seçimi: Aynı kişilerin ters sırası yeni ekip değildir. Farklı görevlerde dağılım değişir.
• Şifreleme: Yalnız verilen dönüşüm kuralını uygula; bilinmeyen eşleşmeyi tahminle doldurma.

1. Eşleştirme tablosu kurma

Eşleştirmede iki bilgi grubu birbiriyle ilişkilendirilir: öğrenciler–görevler, kişiler–şehirler veya günler–etkinlikler gibi. Önce her kişinin kaç görev alacağı, görevlerin tekrarlanıp tekrarlanamayacağı ve boşta kalıp kalmayacağı belirlenir. Bu kurallar verilmeden “bir görev seçildi, diğerleri elendi” denemez.

Öğretim için oluşturulan örnekte Ada, Berk ve Cem'in afiş, araştırma ve sunum görevlerinden birer farklı görev aldığını düşünelim. Koşullar “Cem sunum yapıyor.” ve “Berk afiş hazırlamıyor.” olsun. Cem sunuma yazılınca geriye afiş ile araştırma kalır. Berk afişte olamadığı için araştırmayı, Ada da afişi üstlenir.

Tabloda öğrenciler satırlara, görevler sütunlara yazılır. Kesin eşleşme “uygun”, elenen seçenek “olamaz” olarak işaretlenebilir. Yalnız renge dayanmak yerine sözcük veya simge kullanılması, tablonun anlaşılmasını kolaylaştırır. Son eşleştirme her koşulla yeniden karşılaştırılır.

1.1. Koşulların tabloya yerleşmesi

Cem sunumda ve Berk afişte değil

Kişi	Afiş	Araştırma	Sunum
Ada	Uygun	Olamaz	Olamaz
Berk	Olamaz	Uygun	Olamaz
Cem	Olamaz	Olamaz	Uygun

Bu tabloda her kişi yalnız bir görev alır ve her görev yalnız bir kişiye verilir. Cem’in sunumu kesinleşince diğer iki kişinin sunum hücreleri elenir. Berk afişte de olamayınca araştırma ona kalır. Ada’nın görevi son kalan afiş olur. Tek kişiye tek görev şartı olmasaydı bu eleme zinciri aynı biçimde kurulamazdı.

2. Kesin bilgi ile olasılığı ayırma

Elif ve Deniz adlı iki öğrenciye afiş hazırlama ve sunum yapma görevleri verilecek olsun. Yalnız “Elif sunum yapmayacak.” bilgisi veriliyorsa, her öğrenciye farklı bir görev düşeceği de açıkça belirtilmelidir. Bu koşulla Elif afişi, Deniz sunumu alır. Tek kişinin iki işi yapabildiği veya bir görevin boş kalabildiği durumda aynı sonuç zorunlu değildir.

“En az bir”, “yalnızca bir” ve “en çok iki” farklı koşullardır. En az bir; bir veya daha fazlasına izin verir. Yalnızca bir tam bir kişiyi belirtir. En çok iki ise bağlama göre sıfır, bir veya iki kişiye izin verebilir. Bu sözleri birbirinin yerine geçirmek uygun görünen fakat yanlış düzenler üretir.

Açıklamalı örnekler

• En az iki kişi → 2, 3 veya daha fazla kişi olabilir; grubun toplamı üst sınırdır.
• En çok iki kişi → Başka bir alt sınır yoksa 0, 1 veya 2 olabilir.
• Yalnız iki kişi → Tam olarak 2 kişidir; daha azı ve fazlası elenir.

3. Grup oluşturma ve kombinasyon

Ada, Bora ve Cem arasından iki kişilik bir ekip seçilecekse Ada–Bora, Ada–Cem ve Bora–Cem olmak üzere üç farklı seçim vardır. Ada–Bora ile Bora–Ada aynı ekiptir; seçimde sıra önemli değildir. Aynı ekibi ters sırayla yeniden saymak sonucu büyütür.

Dört kişi arasından iki kişilik ekipler de tek tek listelenebilir. Ada, Bora, Cem ve Deniz için altı ekip vardır: Ada–Bora, Ada–Cem, Ada–Deniz, Bora–Cem, Bora–Deniz ve Cem–Deniz. Lise düzeyinde bu sayı C(4, 2) = 4! ÷ (2! × 2!) = 6 biçiminde hesaplanabilir. Burada “!” faktöriyel işaretidir; 4! = 4 × 3 × 2 × 1 demektir.

Görevler farklıysa seçimden sonra dağıtım da önem kazanır. İki kişiden biri başkan, diğeri yazman olacaksa Ada'nın başkan, Bora'nın yazman olması ile Bora'nın başkan, Ada'nın yazman olması farklı durumlardır. Bu, sıranın veya görevin önem taşıdığı düzenleme problemidir; doğrudan ekip seçimiyle aynı sayılmaz.

3.1. Seçim ile görev dağıtımını karşılaştırma

Ada, Bora ve Cem’den iki temsilci seçilirse AB, AC, BC olmak üzere 3 ekip vardır. Aynı üç kişiden bir başkan ve bir yazman belirlenirse AB, AC, BA, BC, CA, CB olmak üzere 6 dağılım vardır. İlk harf başkanı, ikinci harf yazmanı göstersin. AB ile BA aynı kişilerden oluşsa da görevler değiştiği için iki ayrı dağılımdır.

Dikkat: Sözel mantıkta asıl amaç her zaman formül kullanmak değildir. Küçük grupları sistemli listelemek hem tekrarları hem atlanan olasılıkları görmeyi kolaylaştırır.

4. Şifreleme ve dönüşüm kuralları

Şifreleme sorularında harfler, sayılar veya simgeler arasında açıkça verilen kural uygulanır. “K = 4, L = 5, M = 6” eşleştirmesinde MLK dizisi 6–5–4 olur. İşaretlerin sırası korunur; her harf kendi karşılığına dönüştürülür.

Kural “Her sayı ikiyle çarpılır.” ise 3–1–4 dizisi 6–2–8 olarak yazılır. Harf kaydırma kuralında ise hangi alfabenin kullanıldığı ve son harften sonra başa dönülüp dönülmediği bilinmelidir. Örneğin yalnız A = 1, B = 2, C = 3 bilgisi verilmişse belirtilmeyen harflerin karşılığı tahminle kesinleştirilmez.

4.1. Dönüşüm kuralını sıra boyunca uygulama

A = 1, B = 2, C = 3 ve Ç = 4 eşleştirmeleri verilsin. ÇAB harf dizisi 4–1–2 olur. Kural Türk alfabesindeki sıra olarak tanımlanmışsa Ç ayrı harftir; İngilizce alfabe sırası kullanılamaz.

Bir sayı dizisinde 2, 4, 8 görülmesi tek başına sonraki sayının kesinlikle 16 olduğunu kanıtlamaz; farklı kurallar kurulabilir. Soruda “Her sayı öncekinin iki katıdır.” koşulu varsa 16 sonucu kesinleşir. Kural ile örnek arasındaki ayrım korunur.

5. Sonuçları koşullarla kontrol etme

Tabloyu doldurmak tek başına çözümün tamamlandığını göstermez. Her kişi ve görev için tekrar kuralı, sayı sınırları ve olumsuz koşullar denetlenir. Birden fazla uygun düzen kalıyorsa bütün eşleştirmeler kesinleşmiş gibi yazılmaz. Geçerli hiçbir düzen kalmaması ise koşulların çelişebileceğini veya bir kuralın yanlış uygulandığını gösterir.

Eşleştirme ve seçimlerde koşulları koruma

Örnek	Tür veya özellik	Açıklama
Cem sunumda; Berk afişte değil; herkes farklı bir görevde.	Eşleştirme	Cem sunum, Berk araştırma, Ada afiş görevini alır.
Elif ve Deniz afiş ve sunum görevlerini birer farklı görev alarak paylaşır; Elif sunum yapmaz.	Eksiksiz koşul	Elif afişi, Deniz sunumu üstlenir.
Üç kişiden iki kişilik ekip	Kombinasyon	Ada–Bora, Ada–Cem, Bora–Cem: üç seçim vardır.
İki kişiye başkanlık ve yazmanlık dağıtma	Görev dağıtımı	Görevler değiştiğinde farklı bir düzen oluşur.
K = 4, L = 5, M = 6 → MLK	Şifreleme	Harflerin sırası korunarak 6–5–4 yazılır.